e^(i*π)+1=0 [Der Mathe-Thread]

[Blue Sparkle]

@ShyGuy:
Ah, jetzt verstehe ich^^

Bei der Umrechnung magst du recht haben, allerdings ergibt sich dann in anderen Bereichen Probleme. 8 ist 2³, d.h. du kannst genau wie im Binären nur Zahlen auf Basis von 2^n mit einem Abbrechenden Dezimalbruch darstellen.
12 und 10 (und auch 6, was denke ich sinniger wäre) sind dahingehend gleichwertig. Es kommt schlicht darauf an, ob du Sachen lieber durch drei oder durch 5 Teilbar haben willst.

Übrigens gab es mal den Versuch das Dezimalsystem für Zeitmaße einzuführen, sodass der Tag in 10 Stunden à 100 Minuten à 100 Sekunden unterteilt wird. Hat sich aber nicht durchgesetzt.

@Sternenschweif:
Man braucht die ganze supertolle höhere Mathematik fast ausschließlich um damit die ganze supertolle moderne Physik zu verstehen.
Die Umkehrung würde daher denke ich gelten: Wer gut in Physik ist muss auch gut in Mathe sein.
Im Bachelorstudiengang habe ich beispielweise 4 Kurse Mathe, mehr als alle anderen außer den Mathematikern selber.

[ShyGuy]

Jetzt bin ich noch verwirrter. Nicht dass ich dir nicht glauben würde (irgend einen Grund für das Dezimalsystem muss es ja wohl geben) aber ich kann mir gerade nicht vorstellen wie du das meinst. Abbrechender Dezimalbruch? Was ist das nun wieder?
Mal meinen Freund fragen...

Ah, das ist das also.
1/5 = 0,2(10) =^= 0,14631463....(8)
Interessant, darauf wäre ich jetzt gar nicht gekommen.
Liegt wohl daran, dass ich noch nie in einem anderen System geteilt habe
Aber bringt das auch was? Es gibt ja trotzdem in jedem Zahlensystem solche Zahlen, die man dann auch oft als Bruch angibt.
Und gleichwertig sehe ich damit 10 und 12 (bzw 6) auch nicht. Bei 12 hat man neben der 2 noch die 3 anstatt der 5 (mal angenommen ich hab verstanden was du gemeint hast) und es gibt mehr Zahlen mit 3er Basis als... nein das wird jetzt falsch, es gibt ja bei beiden unendlich viele.
Aber Zahlen mit 3er Basis folgen dichter aufeinander als mit 5, demnach müsste es mit 6er oder 12er System nochmal mehr Zahlen mit abbrechendem Dezimalbruch geben als im Dezimalsystem. Außerdem würden dann die Zeitangaben und Gradeinteilungen schöner passen.
Das alleine kann es also wohl auch nicht sein, irgend etwas übersehe ich immer noch, was das Dezimalsystem auszeichnet.
Und ob bei ohnehin schon unendlich vielen Zahlen noch ein paar unendlich viele Zahlen mehr mit Periode noch einen Unterschied machen? Ich weiß nicht, mit Runden und Bruchdarstellung kriegt man das im Dezimalsystem ja auch hin...

[Blue Sparkle]

Richtig fies wird so etwas erst wenn du dich mit Programmieren auf der Ebene der Beziehung zwischen Maschinensprache und Hochsprache beschäftigst. (aus irgendeinem Grund müssen Maschinenbauer so etwas können, ein Glück, dass ich jetzt zu Physik gewechselt bin)

Gut, dass wir da jetzt einen gemeinsamen Nenner gefunden haben.

Ich weiß was du beschreiben möchtest, jedoch ist die Abbildung {n*3}---->{k*5} mit n,k € IN bijektiv. Daher haben sie die gleiche Kardinaliät und damit sind beide Zahlensysteme prinzipiell gleichwertig, was diesen Aspekt angeht. Auch wenn das im ersten Moment nicht so aussehen mag.

Schlussendlich bleibt wahrscheinlich nur noch das Argument der Finger und das ist gar nicht so blöd.
Unser Gehirn ist seit Jahrtausenden auf die Zahl 10 gepolt worden, einfach durch Anschauung. Davon wegzukommen ist unglaublich schwierig.

[ShyGuy]

(14.10.2012)Blue Sparkle schrieb:  Schlussendlich bleibt wahrscheinlich nur noch das Argument der Finger und das ist gar nicht so blöd.
Unser Gehirn ist seit Jahrtausenden auf die Zahl 10 gepolt worden, einfach durch Anschauung. Davon wegzukommen ist unglaublich schwierig.

Demnach wäre es also denkbar, dass wir 64GB als 1 TB bezeichnen würden, wenn wir 1 Finger pro Hand weniger hätten?

Was die 3 und 5 angeht muss ich dir das jetzt einfach mal glauben (was mir in Mathe generell schwer fällt) da ich mit deinen ganzen Begriffen (noch) nichts anfangen kann. Ich hab ja auch erst letzte Woche mit nem Studium angefangen...

[Blue Sparkle]

Bijektiv bedeutet dass du jedem Element einer Menge A GENAU ein Element aus der Menge B zuordnen kannst.
Kardinalität oder Mächtigkeit bezeichnet die Anzahl der Elemente einer Menge. Bei unendlichen Mengen ist der Begriff etwas schwerer zu fassen. Aber es ist Prinzipiell möglich aussagen zu treffen.

[ShyGuy]

Kann man das auch veranschaulichen? Auf den ersten Blick scheinen ja Zahlen mit 3^n-Basis häufiger vertreten zu sein als mit 5^n-Basis. Wie funktioniert das dann, dass ... ähm ... diese Mengen bijektiv sind?
Und wieso ist Mathe so interessant?

[Cheetah]

Bijektiv heißt, wie Blue Sparkle schon gesagt, dass man jedem Element einer Menge GENAU eins der anderen Menge zuordnen kann. Und umgekehrt. Man kann also Paare der Form (a, b) mit a aus der einen und b aus der anderen Menge bilden (injektiv) und alle Paare zusammengenommen enthalten alle Elemente beider Mengen (surjektiv).

Hier ist es auch recht einfach:
3^0 <-> 5^0
3^1 <-> 5^1
3^2 <-> 5^2
...

Folglich sind beide Mengen "gleich groß". Dass in beschränkten (!) Bereichen Zahlen der Menge 3^n öfter vorkommen, als Zahlen der Menge 5^n, ist nicht relevant, da beide Mengen unendlich groß sind.

[Blue Sparkle]

Allgemeiner besitzt jede Teilmenge einer abzählbaren, unendlichen Menge die gleiche Kardinalität wie diese Menge.
Abzählbar bedeutet, dass eine Bijektive Abbildung existiert zu der man alle Elemente anordnen kann (beispielsweise zu den Natürlichen Zahlen)
Beispiel für eine überabzählbare Menge wäre zum Beispiel IR, wegen den Irrationalen Zahlen.

Die Veranschaulichung hat Cheetah schon demonstriert.

Übrigens können Mengen nicht bijektiv sein, sondern nur Abbildungen.


Ach ja, und Mathe ist deshalb so interessant, weil sie es uns ermöglicht Dinge zu begreifen, wo die Vorstellung endet. Stellt dir Mal eine 11 dimensionale Raumzeit vor. Geht nicht. Mathematik dann es aber.

[Sternenschweif]

Kennt jemand die Krimiserie "Numbers – Die Logik des Verbrechens" ?

Inhalt: Die Geschichte handelt von dem FBI-Mitarbeiter Don Eppes und seinem Bruder Charlie, der Mathematik an der Universität unterrichtet und ein Genie seines Faches ist. Zusammen versuchen sie Kriminalfälle mit Hilfe von mathematischen Formeln aufzuklären. So dreht sich die Handlung weniger um die Spurensicherung, sondern eher um die Vorhersage weiterer Verbrechen von Serientätern mithilfe moderner angewandter Mathematik, Physik und Informatik wie z. B. der Numerik, Spieltheorie, Fluiddynamik, maschinellem Lernen und Data-Mining anhand der Beweismittel und vorhergegangenen Handlungen des Täters.

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Numbers_%E2...erbrechens

Die Serie habe ich leider nie gesehen und kann den nichts zu mathematischen Aspekt der Serie was sagen.

[Blue Sparkle]

Ich habe von ihr gehört, sie aber nie gesehen, da mir die Sendezeit nicht gepasst hat.

Sicherlich kann man mit Hilfe der Mathematik einiges Vorhersagen, aber Vohersagbarkeit existiert nicht, das zeigt uns die Quantenmechanik.

[ShyGuy]

(14.10.2012)Cheetah schrieb:  Dass in beschränkten (!) Bereichen Zahlen der Menge 3^n öfter vorkommen, als Zahlen der Menge 5^n, ist nicht relevant, da beide Mengen unendlich groß sind.

Das seh ich aber anders. Man rechnet ja nie mit unendlich vielen Zahlen. Wenn man jetzt eine Hand voll beliebige Zahlen rauspickt, ist die Wahrscheinlichkeit damit ja deutlich höher, 3^n-Zahlen zu erwischen als 5^n, da sie in quasi jedem Bereich häufiger vorkommen.
Natürlich sind auch beide Mengen unendlich, aber wie viele Zahlen mit der Basis 2^n gibt es? Auch unendlich, oder? Dann dürfte die 5^n Menge bereits keine Rolle mehr spielen, da unendlich + X nicht größer als unendlich wird.

[Evenprime]

"Numb3rs" ist eine recht interessante Serie. Sie ist auch weitestgehend mathematisch korrekt, zumindest alle verwendeten Theorien und Algorithmen die darin vorkommen und mir aus dem Studium bekannt sind, sind gut präsentiert.

Damit es für die Nichtmathematiker interessant bleibt, verzichtet die Serie auf die extrem spezifischen Details und erzählt lieber z.B. die Geschichte hinter diesen Formeln, wer sie entdeckt hat und wie derjenige darauf gekommen ist. Das wirkt auch recht natürlich, denn das Mathe-Genie muss ohnehin seinem Bruder und dem Rest des FBI seine Ideen erklären, welche wie der Zuseher keinen Mathe-Hintergrund haben. Unterstützt wird der "Mathe-Teil" einer Folge meist mit Computeranimationen, die dem Zuseher helfen optisch den Zusammenhang zwischen den Formeln und dem realen Problem zu begreifen und diesen "Aha!"-Effekt zu provozieren.

Leider wirken die Zusammenhänge zwischen den Theorien und den realen Fällen dann doch manchmal recht erzwungen. Kein Wunder, denn in jeder Folge wird eine andere Formel, ein anderer Algorithmus oder Theorie angewandt.

In Realität beschränken sich Polizei, Geheimdienste & Co. wohl auf ganz wenige, einfache und erprobte mathematische Verfahren, die zudem direkt von Computerprogramme und nicht per Hand ausgeführt werden. Aber das wäre schnell langweilig und eintönig für eine TV-Serie.

Auch jenseits des Mathe-Aspekts ist die Serie gut. Die Dynamik zwischen den zwei Brüdern die in prakitsch unterschiedlichen Welten leben funktioniert prima, sie lernen im Laufe der Serie viel voneinander.

[Cheetah]

(15.10.2012)ShyGuy schrieb:  Das seh ich aber anders. Man rechnet ja nie mit unendlich vielen Zahlen.
Wenn man jetzt eine Hand voll beliebige Zahlen rauspickt, ist die Wahrscheinlichkeit damit ja deutlich höher, 3^n-Zahlen zu erwischen als 5^n, da sie in quasi jedem Bereich häufiger vorkommen.
Natürlich sind auch beide Mengen unendlich, aber wie viele Zahlen mit der Basis 2^n gibt es? Auch unendlich, oder? Dann dürfte die 5^n Menge bereits keine Rolle mehr spielen, da unendlich + X nicht größer als unendlich wird.

Worauf willst du hinaus? Es ging doch darum, dass beide Mengen, also {3^n} und {5^n} gleich mächtig sind, also gleiche Kardinalität haben.

@Blue Sparkle:
Ja, das war etwas unsauber formuliert.

[ShyGuy]

Achso, du meintest rein auf die Aussage "bijektiv" bezogen ist es irrelevant? Dann hast du wohl recht.
Auf diese Frage sind wir aber erst durch die Behauptung gekommen, dass das Sechser- und Zehnersystem im Bezug auf abbrechende Dezimalbrüche gleichwertig sind. Das sehe ich nämlich aus vorhin genannten Gründen nicht.

[Blue Sparkle]

Natürlich kannst du sagen: "Ich rechne nur in einem beschränkten Zahlenbereich, also nehme ich die Zahlen die in diesem Bereich häufiger vorkommen."
Rein mathematisch sind beide jedoch äquivalent, da in der Regel unendliche Mengen verwendet werden MÜSSEN. Viele Axiome funktionieren beispielsweise nur auf offenen oder abgeschlossenen Mengen. Da Mengen wir IR beides sind nimmt man einfach diese her.


@Cheetah: Mathe macht pingelig.

[Sternenschweif]

Haltet ihr es möglich, dass jemand nur mit Hilfe von Büchern sich selbst den größten Teil der Mathematik beizubringen?

Für ein paar Personen könnte ich mir gut vorstellen, dass sie in der Lage wären. Das hängt auch davon ab, ob überhaupt ein Interesse da ist und wie das generelle Talent aussieht.

[Blue Sparkle]

Wenn genug Übungsaufgaben vorhanden sind und die Bücher gut und verständlich geschrieben sind. Ja. Prinzipiell kann man eigentlich alles aus Büchern lernen.

[ShyGuy]

Genau da liegt mein Problem: "Zahlen, die in diesem Bereich häufiger vorkommen".
Zahlen a'la 3^n treten doch in jedem Bereich dichter auf als 5^n, oder?
Wenn man alle Zahlen bis in die Unendlichkeit betrachtet, geht für mich irgendwie der Sinn darin verloren, irgendetwas zu vergleichen. Eigentlich ist diese Betrachtungsweise ebenso beschränkt (nicht im beleidigenden Sinne versteht sich) wie die Geschichte von Achilles und der Schildkröte, nur eben andersrum. So kurzsichtig wie es ist, Achilles überholt die Schildkröte nie, weil diese immer einen neuen Vorsprung gewinnt während der alte eingeholt wird, so weitsichtig ist
∞ = ∞. (Auch Weitsichtige brauchen eine Brille, ich weiß wovon ich rede ;-) )

Du behauptest, das Dezimalsystem sei deshalb vorteilhaft, weil sich beim Oktalsystem nur ein winziger Anteil der Zahlen (unendlich viele wenn ich richtig verstehe) ohne periode darstellen lassen? Genau da hängt sich mein Verständnis auf: Auch das sind unendlich viele Zahlen, aber du vergleichst Anteile. Selbiges müsste doch auch mit 3^n <-> 5^n möglich sein.
Im Zehnersystem ist der Anteil der nichtperiodischen Zahlen demnach höher als im Achtersystem, dann müsste er im Sechsersystem doch nochmal höher sein, da der Anteil an 3^n-Zahlen höher ist. Wenn sowieso alles unendlich ist verstehe ich aber die Unterscheidung zwischen Oktalsystem und Dezimalsystem nicht, da es unendlich viele 2^n gibt.

EDIT: Wenn ich nerve sag's ruhig, das hab ich nicht vor. Es lässt mich nur nicht in Ruhe, wenn ich was nicht verstehe. Gerade in Mathe, wo man eigentlich alles (?) erklären und beweisen kann.

[Cheetah]

Jetzt wird es langsam verwirrend. Ich habe keine Ahnung, was du in dem 1. Absatz ausdrücken willst.

Der 2. Absatz klingt dafür umso verständlicher. Wenn es dir darum geht, wie hoch der Anteil der b^n-Zahlen in einem geschlossenen Intervall ist, kann man alles recht einfach vergleichen.
Und da ist ein Sechsersystem, wo alle Zahlen der Form x = a * 2^m + b * 3^n nach endlich vielen Nachkommastellen abbrechen, günstiger, als ein Zehner- oder Achtersystem.

[ShyGuy]

OK dann nochmal was ich beim ersten Absatz mit dem Achilles-Vergleich gemeint habe:
A:
Die Schildkröte hat 10m Vorsprung.
Bis Achilles die 10m läuft ist die Schildkröte 1m weiter vorn.
Bis Achilles den 1m läuft ist die Schildkröte 0,1m weiter vorn.
.
.
.
So kann man es darstellen, als ob Achilles die Schildkröte nie einholt, obwohl jedem klar ist, dass er sie noch vor dem 12. Meter überholt.
=> "kurzsichtig"
B:
Es gibt unendlich viele Zahlen 3^n
Es gibt unendlich viele Zahlen 5^n
also gibt es genau gleich viele Zahlen von jeder Art
Man kommt aber, wenn man den Zahlen zu einer beliebigen 5^n nachgeht, an mehr 3^n vorbei.
=> "weitsichtig"

Das Thema ist aber jetzt eh gegessen, wenn es da tatsächlich einen Unterschied zwischen Sechser- und Zehnersystem gibt. Dann ist mein Weltbild wieder in Ordnung.