Die Mathematikaufgabe des Academic Decathlon

[MarcterChief]

Guten Abend Freunde! Alle von euch, die Equestria Girls: Friendship Games gesehen haben, erinnern sich vielleicht noch an das Finale des Acadeca: Das Bestimmen eines Winkels in einem Dreieck. Beim Anschauen habe ich mir erstmal nicht viel gedacht, bis ich dann auf die Idee kam, dass ich die Aufgabe doch mal lösen könnte

Hier die Aufgabe (Öffnen)

Zu Bestimmen ist x, bzw. der Winkel EDB

Über die grundlegenden Winkelgesetze (Dreieck=180°, Gerade=180°, Kreis=360°) kommt man recht schnell auf die folgenden Winkel:

Spoiler (Öffnen)

Hier bin ich leider mit meinem Latein am Ende Es wird deutlich, dass
x+c=130°
b+c=140°
a+x=150°
a+b=160°
wenn ich mein CAS das jedoch lösen lasse, kommen unendlich viele Lösungen als Ergebnis für das Gleichungssystem, obwohl es genau eine Lösung gibt (außer, ich irre mich und Principal Cinch hat geschummelt).
Weiß jemand, was ich übersehe? Wäre für Hilfe dankbar (Sunset Shimmer glaube ich auch )

Die Grafik wurde übrigens mit GeoGebra erstellt.

Die Lösung ist laut GeoGebra übrigens

x= (Öffnen)

20°

[Colora Paint]

... Jetzt kommt Denkbullshit:

Das rechte innere Dreieck hat 20 Grad an ner Ecke und das obere innere Dreieck ebenfalls. Zudem die beiden gleich aussehen, nur das eine aufm Kopf ist.
Vom rein Logischen müsste man also nur die 130 Grad neben den X Winkel setzen und dann nurnoch (da Gerade)
180 - 130 - 30 = 20 Grad berechnen
Tada

[MarcterChief]

Dass die beiden Dreiecke kongruent (also "gleich") sind, ist mir auch schon aufgefallen. Aber einfach so zu sagen, dass die halt ähnlich aussehen und deshalb kongruent sein müssten, ist denke ich keine ausreichende Antwort für nen Lehrer oder Prof, sondern hört sich eher wie aus dem Hut gezaubert an ich glaube, da bräuchte man noch ein bissel mehr^^

[Jandalf]

(27.09.2015)MarcterChief schrieb:  Hier bin ich leider mit meinem Latein am Ende Es wird deutlich, dass
x+c=130°
b+c=140°
a+x=150°
a+b=160°
wenn ich mein CAS das jedoch lösen lasse, kommen unendlich viele Lösungen als Ergebnis für das Gleichungssystem, obwohl es genau eine Lösung gibt (außer, ich irre mich und Principal Cinch hat geschummelt).
Weiß jemand, was ich übersehe?

Nein, du übersiehst nichts. Rein Mathematisch kannst du für a und b zwei beliebige Zahlen einsetzen, die zusammen 160 ergeben und den Rest damit ausrechnen. Mit den gegebenen Werten ist das nicht eindeutig lösbar.

[MarcterChief]

(28.09.2015)Jandalf schrieb:  

(27.09.2015)MarcterChief schrieb:  Hier bin ich leider mit meinem Latein am Ende Es wird deutlich, dass
x+c=130°
b+c=140°
a+x=150°
a+b=160°
wenn ich mein CAS das jedoch lösen lasse, kommen unendlich viele Lösungen als Ergebnis für das Gleichungssystem, obwohl es genau eine Lösung gibt (außer, ich irre mich und Principal Cinch hat geschummelt).
Weiß jemand, was ich übersehe?

Nein, du übersiehst nichts. Rein Mathematisch kannst du für a und b zwei beliebige Zahlen einsetzen, die zusammen 160 ergeben und den Rest damit ausrechnen. Mit den gegebenen Werten ist das nicht eindeutig lösbar.

Das kann eigentlich nicht sein, da die Punkte D und E durch die Winkel 70° und 60° ja fest auf den 2 (gleich langen) Seiten des "Außendreiecks" gesetzt sind - Jeder andere Winkel als 20° würde doch den Punkt E verschieben, so dass der Winkel an Punkt B nicht mehr 60° beträgt. Ich glaube, man muss da irgendwie mit dem Verhältnis der beiden Strecken AE und EC, die zusammen ja die Strecke AC ergeben, rechnen...

[Jandalf]

(29.09.2015)MarcterChief schrieb:  Das kann eigentlich nicht sein, da die Punkte D und E durch die Winkel 70° und 60° ja fest auf den 2 (gleich langen) Seiten des "Außendreiecks" gesetzt sind - Jeder andere Winkel als 20° würde doch den Punkt E verschieben, so dass der Winkel an Punkt B nicht mehr 60° beträgt. Ich glaube, man muss da irgendwie mit dem Verhältnis der beiden Strecken AE und EC, die zusammen ja die Strecke AC ergeben, rechnen...

Ich könnte jetzt anfangen beliebige Werte für die Strecken anzunehmen. Man könnte die Strecken natürlich auch messen. Aber an dem Punkt kann ich auch einfach nen Winkelmesser bei x ansetzen und bin fertig.

edit: wobei das eigentlich keinen Einfluss haben sollte. Gib mir nochmal grade 5 Minuten

edit: ja, 20° für x stimmt. Wenn man für die Strecke AB einfach 100 annimmt kann man damit Problemlos AC, BC, AD und BE "ausrechnen" und darüber dann eben auch alle anderen Werte. Da es nur auf die Verhältnisse ankommt ist ja tatsächlich egal, was wir für Werte nehmen.

[MarcterChief]

(29.09.2015)Jandalf schrieb:  edit: ja, 20° für x stimmt. Wenn man für die Strecke AB einfach 100 annimmt kann man damit Problemlos AC, BC, AD und BE "ausrechnen" und darüber dann eben auch alle anderen Werte. Da es nur auf die Verhältnisse ankommt ist ja tatsächlich egal, was wir für Werte nehmen.

Ob das dann so schnell an der Tafel und ohne Rechner geht?

[Meganium]

Nunja, das Annehmen mit Zahlenwerten ist ja schön und gut, aber wird wahrscheinlich bei vielen Aufgaben nicht zugelassen sein, sondern, dass man rein über die Winkelgesetze einen Winkel herausfinden muss.

[MarcterChief]

(29.09.2015)Meganium schrieb:  Nunja, das Annehmen mit Zahlenwerten ist ja schön und gut, aber wird wahrscheinlich bei vielen Aufgaben nicht zugelassen sein, sondern, dass man rein über die Winkelgesetze einen Winkel herausfinden muss.

Da hier ja nur Winkel gegeben sind, kann man denke ich schon mit (stellvertretenden) Zahlenwerten rechnen, das Verhältnis bleibt ja unabhängig von der nun gewählten Länge gleich. Somit kann man dann die Schnittpunkte der Geraden, damit die Koordinaten der unbekannten Punkte und somit den Winkel zwischen den Geraden ED und DA bestimmen.

[Jandalf]

(29.09.2015)Meganium schrieb:  Nunja, das Annehmen mit Zahlenwerten ist ja schön und gut, aber wird wahrscheinlich bei vielen Aufgaben nicht zugelassen sein, sondern, dass man rein über die Winkelgesetze einen Winkel herausfinden muss.

Wodurch, wie gesagt, bei dieser Aufgabe unendlich viele Lösungen möglich wären. Und ausserdem, egal welchen Wert ich einsetze, komme ich auf 20°.

(29.09.2015)MarcterChief schrieb:  Ob das dann so schnell an der Tafel und ohne Rechner geht?

Also ich wüsste nicht, wie ich das ohne Rechner oder Logarithmentafel machen sollte.

[Conqi]

(29.09.2015)MarcterChief schrieb:  Da hier ja nur Winkel gegeben sind, kann man denke ich schon mit (stellvertretenden) Zahlenwerten rechnen, das Verhältnis bleibt ja unabhängig von der nun gewählten Länge gleich. Somit kann man dann die Schnittpunkte der Geraden, damit die Koordinaten der unbekannten Punkte und somit den Winkel zwischen den Geraden ED und DA bestimmen.

Und wie bestimmst du das Verhältnis zwischen den Geraden? Ich komm bei der Argumentation gerade irgendwie nicht mit.

[Jandalf]

(29.09.2015)Conqi schrieb:  Und wie bestimmst du das Verhältnis zwischen den Geraden? Ich komm bei der Argumentation gerade irgendwie nicht mit.

Mit den Winkeln. Du kannst mit drei Winkeln und einer gegebenen Graden alle Seiten eines Dreiecks ausrechnen. Wenn du für eine Seite einfach 100 Einsetzt (beachte das absichtliche Weglassen einer Maßeinheit) bekommst du schlicht das Verhältnis der errechneten Seite zu 100. Da wir nur einen Winkel suchen ist das halt kein Problem.

[Conqi]

Ahja, stimmt. Stand etwas auf dem Schlauch. Dann wäre das natürlich machbar.

[MarcterChief]

Also ich habe mir überlegt, dass ich A als den Ursprung definiere und B als (s|0), wobei s der von uns bestimmte Abstand zwischen A und B, zum Beispiel 100 ist. Mit den beiden 80°-Winkeln an A und B können wir uns dann Geraden konstruieren, dessen Schnittpunkt in C liegt, mit dem 60°-Winkel können auf die Koordinaten von E und mit dem 70°-Winkel auf die von D geschlossen werden, mit den daraus berechbaren Geraden lässt sich dann letztendlich x berechnen.
Ich würde das mit Vektorgeometrie machen, ist aber denke ich schon ein bisschen Aufwand.

[Jandalf]

Wenn ich festlege, dass die Strecke AB 10 ist kann ich einfach (mit den Winkeln) CD und CE ausrechnen. Womit es dann kein Problem ist den Winkel, den du mit a markiert hast auszurechen (130°). Damit hat man dann auch x (180-130-30). Kein Grund das weiter zu verkomplizieren.

[MarcterChief]

(29.09.2015)Jandalf schrieb:  Wenn ich festlege, dass die Strecke AB 10 ist kann ich einfach (mit den Winkeln) CD und CE ausrechnen. Womit es dann kein Problem ist den Winkel, den du mit a markiert hast auszurechen (130°). Damit hat man dann auch x (180-130-30). Kein Grund das weiter zu verkomplizieren.

Jetzt stehe ich komplett auf dem Schlauch . Wie berechnest du dann CD und CE? (Ich glaub, ich seh grad den Wald vor lauter Bäumen nicht...)

[Jandalf]

(29.09.2015)MarcterChief schrieb:  Jetzt stehe ich komplett auf dem Schlauch . Wie berechnest du dann CD und CE? (Ich glaub, ich seh grad den Wald vor lauter Bäumen nicht...)

CD ist die Differenz aus AC und AD, welche sich leicht mit den Winkeln errechnen lassen. Semiinteressanter Fakt: CD = AB.

[MarcterChief]

(29.09.2015)Jandalf schrieb:  CD ist die Differenz aus AC und AD, welche sich leicht mit den Winkeln errechnen lassen. Semiinteressanter Fakt: CD = AB.

Aber wie berechne ich die Strecken mit den Winkeln? Ich komme mir grad vor wie der letzte Depp, dass ich da grad nicht hinter komme...

[Jandalf]

(29.09.2015)MarcterChief schrieb:  Aber wie berechne ich die Strecken mit den Winkeln? Ich komme mir grad vor wie der letzte Depp, dass ich da grad nicht hinter komme...

Entweder du bemühst den Sinussatz oder du benutzt einfach ein berechnungstool aus dem netz, wie ich faule Person das getan habe

[MarcterChief]

(29.09.2015)Jandalf schrieb:  Entweder du bemühst den Sinussatz oder du benutzt einfach ein berechnungstool aus dem netz, wie ich faule Person das getan habe

Natürlich Ergibt ja Sinn...
Dann wäre das jetzt ja geklärt, danke für die Hilfe!