e^(i*π)+1=0 [Der Mathe-Thread]

[Blue Sparkle]

Ohne die pq-Formel oder ihr Äquivalent die Mitternachtsformel kommt man nicht wirklich weit in der Mittelstufe.

Das mit dem Kopfrechnen finde ich ehrlich gesagt recht schade. Es ist wirklich keine große Kunst gescheit im Kopf zu rechnen, wenn man es wirklich versucht. Selbst kompliziertere Sachen wie 372*473/2 lässt sich ohne Probleme rechnen.

Noch eine Kleine Denksportaufgabe.
Ich habe den R². Dort zeichne ich 4 Kreise ein. Mittelpunkte sind (1/1), (-1/1), (1/-1) und (-1/-1). Alle haben den Radius 1. Sie umschließen eine Fläche. Dort hinein passt ein weiterer Kreis mit Mittelpunkt (0/0). Welchen Radius hat er?
Wenn ich das ganze auf den R³ übertrage, was beobachte ich?
Welche Rückschlüsse lassen sich auf höherdimensionale Räume schließen?

Und noch eine Frage:
Kennt jemand von euch die Kleinsche Flasche?

[Scayged]

(10.10.2012)Blue Sparkle schrieb:  Ohne die pq-Formel oder ihr Äquivalent die Mitternachtsformel kommt man nicht wirklich weit in der Mittelstufe.

Wäre auch meine Ansicht.

Kann mir vorstellen, dass es noch Unterschiede zwischen den Mittelstufen gibt, aber ansonsten ist es natürlich schade, wenn selbst Kopfrechnen Schwierigkeiten bereitet.
Wenn man dies (v.A. wegen fehlender Lust) oft nicht braucht/tut ist es aber verständlich, wenn dort Defizite entstehen.

Zur Denksportaufgabe:

Spoiler (Öffnen)

Wenn ich die Kreisaufgabe richtig verstanden habe, müsste die Lösung

r=(sqrt(8)-2)/2

also etwa 0,414 LE

sein.
__
Die Mittelpunkte der Kreise bilden ein Quadrat mit der allg. Seitenlänge l=2.
Die Diagonale des Quadrats lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen (sqrt(2^2+2^2)=sqrt(4+4)=sqrt(8)).

Ziehen wir davon den von den Kreisradien abgedeckten Teil der Diagonale ab (sqrt(8)-1-1), erhalten wir den Durchmesser des gesuchten Kreises. Der Radius wäre die Häfte von alledem:

r=(sqrt(8)-2)/2

Da würden aber auch kleinere Kreise reinpassen...
__
Bei R³ dürfte das angegebene auf eine Ebene projiziert werden? Ich bin mir nicht sicher...

Hui, hab aber viel beim Antworten eiskalt ignoriert.
Nein, die Kleinsche Flasche habe ich vorher leider nicht gekannt, sieht spektakulär aus.

[McKay]

(10.10.2012)Blue Sparkle schrieb:  Das mit dem Kopfrechnen finde ich ehrlich gesagt recht schade. Es ist wirklich keine große Kunst gescheit im Kopf zu rechnen, wenn man es wirklich versucht. Selbst kompliziertere Sachen wie 372*473/2 lässt sich ohne Probleme rechnen.

Kopfrechnen ist aber auch nicht so wichtig, insbesondere wenn man sowas wie Mathe oder Physik studiert.
Für sowas gibts Taschenrechner.

(10.10.2012)Blue Sparkle schrieb:  Noch eine Kleine Denksportaufgabe.
Ich habe den R². Dort zeichne ich 4 Kreise ein. Mittelpunkte sind (1/1), (-1/1), (1/-1) und (-1/-1). Alle haben den Radius 1. Sie umschließen eine Fläche. Dort hinein passt ein weiterer Kreis mit Mittelpunkt (0/0). Welchen Radius hat er?
Wenn ich das ganze auf den R³ übertrage, was beobachte ich?
Welche Rückschlüsse lassen sich auf höherdimensionale Räume schließen?

Spoiler (Öffnen)

Relativ einfach, der Radius ist sqrt(2)-1

Was das Dreidimensionale angeht, da kommt es darauf an, wie GENAU die Struktur aussieht.
Ich konnte Festkörperphysik zwar nicht leiden, aber dennoch weiß ich, dass es unterschiedliche Möglichkeiten für solche Gitterstrukturen gibt.
Du kannst, wenn du 8 kugeln in Würfelform anordnest, eine weitere Kugel in die Würfelmitte packen, oder Kugeln in die Mitten der Seitenflächen packen, in der Festkörperphysik unterscheidet man zwischen diesen Beiden mit den Bezeichnungen bcc(base centered cubic) und fcc(face centered cubic).
im ersten Fall wäre der Radius der kleinen Kugel maximal sqrt(3)-1, im zweiten Fall immer noch sqrt(2)-1.

Je mehr Dimensionen man hinzufügt, desto mehr Möglichkeiten für die Struktur gibt es, sodass deine Frage keine eindeutige Antwort zulässt, wie schon das dreidimensionale Beispiel zeigt.

(10.10.2012)Blue Sparkle schrieb:  Und noch eine Frage:
Kennt jemand von euch die Kleinsche Flasche?

Klar, die ist lustig. Ich hab die glaub auch schon auf diversen science-geek-seiten zum kaufen gefunden.

[Sternenschweif]

Zitat:Und noch eine Frage:
Kennt jemand von euch die Kleinsche Flasche?

Nein, diesen Begriff kannte ich vorher nicht.

Zum Thema Kopfrechnen: Man hat ja nicht ständig einenm Taschenrechner dabei. Da kann es Situationen geben, wo ma gezwungen ist mit dem Kopf zu rechnen.

[Ember Drop]

In solchen Situationen würd ich mir fix was zu kritzeln suchen. Ansonsten rechne ich da meist wahrscheinlich recht umständlich im Kopf, brauch da meist recht lang für (glaub ich). Also zwei dreistellige Zahlen miteinander multiplizieren würd schon etwas dauern, gibts dafür denn einen einfachen Weg?

Zum Rätsel kann ich der Antwort von McKay nichts hinzufügen, die ist da schon ziemlich genau.

[Sternenschweif]

Zum rechnen von relativ schweren Aufgaben: Wenn es schnell gehen soll und man hat keinen Taschenrechner, dann würde ich das dann eine grobe Rechnung machen.

Beispiel: 241*244 => grobe Rechnung:250*250 So hat man zumindest eine grobe Größeordnung.

[Ember Drop]

Und dann 241*6 abziehen oder wie? Nee, stimmt dann auch nicht... Überschlagsrechnung ist ja nicht das Ding, aber genaues Rechnen ist dann doch was anderes.

[Blue Sparkle]

Ein wenig abgeändert ginge es. Wenn du den Überschlag auf 241*250 setzen würdest und dann die 241*6 abziehst. Wäre immer noch einfacher als normal.

Zu meiner Denksportaufgabe:
Die Anwendung wäre das Kubisch Raumzentrierte Gitter (krz) (die englischen kenn ich nicht, ich bin auf einer bayrischen Uni )

Ich hätte wahrscheinlich noch dazu sagen soll, dass das ganze immer auf ein Regelmäßiges Objekt übertragen werden soll, also Quadrat, Würfel, Hyperwürfel ...
Der Radius im R² ist wie schon gesagt sqrt(2)-1 also etwa 0.414.
Beim R³ wäre es dann sqrt(3)-1 also etwa 0.73
Lustig wirds dann danach. Das ganze divergiert nämlich. Im R4 ist die eingeschlossene Kugel genau so groß wie die Umgebenden. Danach wird es sogar größer.
Nun kann man fragen: Wofür das Zeug?
Wenn man bedenkt, dass die Relativitätstheorie schon erst mit 4 Dimensionen funktioniert und die Stringtheorie bzw. M-Theorie erst mit 11, kommt man zu der Einsicht, dass man bei nicht Objekten, wie Hyperkugeln, bei regelmäßiger Schichtung unglaublich viel Platz verschwendet.
Das führt zu der Einsicht, dass Wege, die in niederen Dimensionen, wie bei uns noch logisch erscheinen, in höheren Dimensionen nicht mehr optimal funktionieren.

[Sternenschweif]

Was sollte man eurer Meinung nach nach der Schulzeit von der Mathematik noch drauf haben sollten?

Ich finde, dass man die Prozentrechnung (Dreisatz) noch drauf haben sollte, da man zwangsläufig mit Geld und der Bank viel zu tun haben sollte.

[404compliant]

Die Denksportaufgabe ist ja schon hinreichend behandelt, denn nach dem (verlängerten) Satz von Pythagoras ist die Distanz von den Ecken des (n-dimensionalen Hyper-) Würfels zur Mitte Sqrt(n), und damit der Radius des inneren Kreises Sqrt(n)-1.

Kleinsche Flasche ist grundlegende Topologie. Sie entsteht, wenn man eine quadratische (Gummi-) Fläche nimmt, und die gegenüber liegenden Seiten verklebt. Allerdings nicht normal (dann entsteht ein Donut Torus), sondern die eine Seite normal, die andere Seite entgegengesetzt verdreht: Links oben mit rechts unten und rechts oben mit links unten. (Genauer gesagt ist sie topologisch äquivalent zu einer so verklebten Quotiententopologie über [0,1]x[0,1])

Die Kleinsche Flasche ist damit das dreidimensionale Äquivalent des Möbiusbands. Das nächst-höherdimensionale Äquivalent, die solid klein bottle, können sich Portal-Spieler wohl noch am Besten vorstellen: Ein Raum, bei dem die gegenüberliegenden Wände und Decke/Boden mit Portalen verbunden sind, wobei eins der Portale alles spiegelt, was hindurch geht.

Zur Schulmathematik: Ich bin ja schon froh, wenn Sachen wie Kopfrechnen, Bruchrechnen, Prozentrechnen und ein wenig Geometrie hängen geblieben sind. Außerhalb technischer Bereiche kommt man damit schon hin. Aber wie ich schon mal geschrieben hab: Der Rest, den man gelernt hat, war auch eigentlich mehr Training für logisches Denken, nicht so sehr Wissensvermittlung.

[Ember Drop]

Dazu passt auch das folgende Video ganz gut:

Spoiler (Öffnen)

[video=youtube]http://www.youtube.com/watch?v=BVVfs4zKrgk[video]
[video=youtube]http://www.youtube.com/watch?v=x7d13SgqUXg[video]

[Sternenschweif]

Denkt ihr, dass es eine Kausalität zwischen Schach und Mathematik gibt?

Konkret: Wenn man in einem davon gut ist, dann ist man es auch im anderen Bereich, falls man sich dafür interessiert.

Bei beiden musst man komplexe Dinge durchdenken. Deshalb halte ich es für möglich, dass es eine Kausalität geben könnte.

[Cheetah]

Ein Zusammenhang wäre naheliegend.

@Kopfrechnen:
Man muss kein Genie im Kopfrechnen sein, aber einfache Rechnungen sind 1. viel schneller als mit Taschenrechner und 2. sind in einigen (Mathe-)Klausuren Taschenrechner gar nicht zugelassen. Dass man das Kopfrechnen 8, 9 Jahre eingetrichtert bekam, macht schon Sinn.

[Ember Drop]

Ich glaub nicht, dass es zwischen beidem eine Kausalität gibt, da das bedeuten würde, dass das eine der Grund für das andere ist. Was du wohl eher meinst, ist ein Zusammenhang. Für beides braucht man eine gute Portion logisches und analytisches Denken, daher wird beides wohl interessant für Leute, die darin gut sind.

[Sternenschweif]

Vor einiger Zeit wurde in den Medien berichtet, dass man wieder einen Vergleich unter den Bundesländer gemacht hat im Bereich der Grundschule, wo es unter anderen um das Rechnen ging. Da gibt es leider deutliche Unterschiede, wobei natürlich die Umstände der jeweiligen Bundesländer berücksichtigt werden sollten. Das Kopfrechnen ist also keine Selbstverständlichkeit, dass es viele gut können.

Zu Schach & Mathe: Es ist Fakt, dass viele Doktoren der Mathematik auch gut in Schach sind. Deshalb kam meine Überlegung.

[Scayged]

Zu Schach und Mathe:

Je länger man Schach bereits spielt, desto weniger hängt es am Ende von logischen/analytischen Denkprozessen ab, sondern vom Merkvermögen der einzelnen Situationen. Man hat herausgefunden, dass (zumindest die älteren) Schachmeister zahlreiche von Spielsituationen im Gedächtnis gespeichert haben und kaum jedes mal komplett neu nachdenken.

Das ist in der Mathematik aber kaum anders, weil man nach längerem Gebrauch z.B. das Einmaleins nicht mehr immer wieder neurechnet, sondern sich eben halt gemerkt hat - meistens.

[Ember Drop]

Vielleicht sind dann aber die Mathe-Docs so gut darin, weil sie sich nicht nur die ganzen Strategien gemerkt haben, sondern sich sogar neue ausdenken können, mit denen der Gegner dann nicht rechnet. Das ist dann ja auch in der Mathematik die hohe Kunst, ihre Regeln nicht nur anwenden, sondern auch sinnvoll kombinieren und erweitern zu können, um neue hilfreiche Werkzeuge zu bekommen.

[Blue Sparkle]

Auf jeden Fall ist Schach ein so hochgradig logisches Spiel, dass man ohne Probleme einen Computer damit programmieren kann (wenn er groß genug ist).
Deep Blue war es glaube ich der den Schachweltmeister damals geschlagen hat.

zu dem was man können sollte:
Gegenfrage: Was willst du machen?

Ausgehend davon, dass du die Minimalanforderungen hören willst.
Dreisatz, Prozentrechnung, pyhtagoreische Zahlen, Rechnen in ungewöhnlichen Systemen (Uhrzeiten, Binärsystem), Mengenlehre (insbesondere Flächen und Volumina), Bruchrechnung,... ich glaub das wärs fürs erste.

pythagoreische Zahlen deshalb:
Das ist die einfachste Methode einen rechten winkel zu beweisen.
Wenn du zum Bespiel ein Haus baust/kaufst und du willst wissen ob auch alles rechtwinklig ist, nimmt dir ein Maßband und messe in einer Ecke 30 und 40 cm nach. Die Verbindungsgerade müsste dann 50 cm sein.

[Sternenschweif]

Ab welcher Klasse sollte jemand Prozentrechnung, Dreisatz und Bruchrechnung eigentlich gut drauf haben sollen?

Ich finde, dass man das spätestens in der 6. Klasse gut drauf haben sollte. Da spreche aus eigner Erfahrung, wann ich die drei genannten gut beherrschen konnte.

Natürlich ist es problematisch, wenn das Umfeld eines Kindes es nicht zulässt, ob man das schon gut kann. Aber unter normales Umständen sollte man es relativ schnell gut können.

[Jandalf]

(11.10.2012)Sternenschweif schrieb:  Ab welcher Klasse sollte jemand Prozentrechnung, Dreisatz und Bruchrechnung eigentlich gut drauf haben sollen?

Ist das nicht egal? Solange sie es können wenn sie aus der Schule raus sind

Und zumindest ein bisschen Kopfrechnen sollte drin sein. Wenn man bei einer Inventur 3 Zahlen multiplizieren muss um zu sehen wie viele Schachteln auf einer Palette liegen dann muss das schnell und im Kopf gehen. Ansonsten denke ich auch im Alltag reichen Dreisatz (Damit kann man dann auch Prozentrechnung), Bruchrechnung und einfache Geometrie. Alles was darüber hinaus geht kann nützlich sein, ist aber imho nicht erforderlich um zurechtzukommen.

Wobei das natürlich tatsächlich darauf ankommt was man mal machen möchte.