e^(i*π)+1=0 [Der Mathe-Thread]

[Vordrace]

ich glaube nicht, dass matheaufgaben der uni's urheberrechtlich geschützt sind
da müsste es keine probleme geben, wenn du die nicht abänderst.^^

[Blue Sparkle]

Da kennst du unsere Uni nicht

Hier habe ich noch eine Aufgabe aus einer Hausaufgabe:

Betrachte folgende Reihe:
(Leider hab ich nicht so ganze die Darstellungsmöglichkeiten)

Summe von k=1 bis unendlich (k!/(k^k))

Konvergiert sie (absolut) und wenn ja, wogegen.

(Mir ist klar, welche Reihe das ist, aber ich hätte gerne den Lösungsweg)

[Volteer]

Also ich denke die Reihe lässt sich so darstellen:

Spoiler (Öffnen)

(1/1) + (1/2 * 2/2) + (1/3 * 2/3 * 3/3) + (1/4 * 2/4 * 3/4 * 4/4) ...
1 + 1/2 + 2/9 + 1/16 ...

vom Gefühl her würd' ich sagen es konvergiert nach 2, die Zahl könnte aber auch kleiner sein. (wenn man das genau berechnen kann, dann hab ich leider kA wie^^)

[Blue Sparkle]

Bei Reihen funktioniert deine Darstellung leider nicht so wirklich, da sie oft ein sehr ungewöhnliches Verhalten zeigen.
Ja, sie konvergiert. Aber warum und wogegen? (Nicht warum genau dagegen, das ginge zu weit)

[Volteer]

Soweit ich das sehe, konvergiert die Reihe, weil der Nenner deutlich schneller gegen Unendlich geht als der Zähler, weshalb die Summanden gegen 0 gehen. Aber wie man auf die genaue Zahl kommt weiß ich nicht.
(wie kann man eigentlich herausfinden, wogegen die Reihe konvergiert, ohne zu wissen warum genau? )

[Blue Sparkle]

Das reicht nicht. Siehe harmonische Reihe.
Abgesehen davon konvergieren beide mit der selben größenordnung, siehe Sterling Formel.

Und herausfinden kann man es im Zweifelsfall nur numerisch. Diese Reihe ist aber so bekannt, dass das jeder eigentlich weiß.^^

[Moony]

Ich schließe dann mal das Zahlenfolgerätsel. Sorry, falls es zu schwer war oder euch nicht zugesagt hat. Bei Bedarf stelle ich euch gerne neue Rätsel.

@Evenprime
Falls dich die Lösung noch interessiert, kann ich sie dir schicken.

@Games4fail
Das sind alles nette Grundlagen, die du verinnerlichen solltest.

@Blue Sparkle
Stell ruhig deine Aufgaben. Ich fände es auch gut, wenn du sie unabgewandelt wiedergeben würdest.
Zu deiner Reihe: Zu zeigen, dass sie absolut konvergent ist, ist einfach. Ich wüsste aber gerade auch keinen analytischen Weg, um zu zeigen, dass sie gegen ungefähr 1,8799 konvergiert.

[Blue Sparkle]

Mir würde der Lösungsansatz reichen.

Ich muss zu weiteren Aufgaben mal schauen. Man kann die nicht so gut stellen, da sie teilweise kompliziert und sehr speziell sind.

[Moony]

Quotientenkriterium ist das Stichwort.

Nur gucken, wenn du alles gespoilert haben willst:

Spoiler (Öffnen)

|a_k+1/a_k| = [(k+1)! * k^k]/[(k+1)^k+1 * k!] = (kürzen) = (k/k+1)^k

Das formen wir um: (k/k+1)^k = 1/[(1+1/k)^k]
Wir wissen, dass lim k->inf ((1+1/k)^k) = e

Somit erhalten wir lim k->inf (|a_k+1/a_k|) = lim k->inf (1/[(1+1/k)^k]) = 1/e < 1

Woho, hier die schönere Version:


Folglich ist die Reihe absolut konvergent.

Ansonsten kannst du gerne nachfragen.
Du hast übrigens recht, das ist leider nicht so hübsch aufzuschreiben hier. Aber vielleicht findet sich eine Möglichkeit es außerhalb irgendwie aufzuschreiben und dann hier einzufügen?!

[Moony]

Bevor der Thread in die ewige Versenkung verschwindet, gebe ich zumindest etwas zum Rätseln mit:

Wir haben zwei Fähren. Sie verlassen gleichzeitig die sich gegenüberliegenden Anlegestellen (eine im Norden, die andere im Süden) eines Sees und fahren jeweils mit konstanter, aber unterschiedlicher Geschwindigkeit zur anderen Anlegestelle. Wir vernachlässigen dabei wie üblich Reibung, Strömung, usw..
Die Fähren begegnen sich das erste Mal 800m von der nördlichen Anlegestelle entfernt. Sie fahren weiter und kehren sofort an der anderen Anlegestelle um und treten die Rückfahrt an. Das zweite Mal begegnen sie sich 400m von der südlichen Anlegestelle entfernt.
Nun die Frage: Wie weit sind die Anlegestellen voneinander entfernt?

Have fun!

[Ember Drop]

Nicht zu lösen, wenn man nicht weiß, ob die Fähren gleich schnell fahren. So könnte es alles Mögliche sein.

[Moony]

Mit unterschiedlicher Geschwindigkeit.
Ich checke in Zukunft wohl besser doppelt ab, was ich als Rätsel schreibe, bevor ich es poste.

[Stampfi]

v=s/t --> s=v*t

V1=Geschwindigkeit Erste Fähre
V2=Geschwindigkeit Zweite Fähre
t1=Zeit Fähre 1
t2=Zeit Fähre 2
Für die Strecke sagen wir mal "Breite des Sees" also B



Dann iwas mit Vektoren weiter komm ich grad net, zu früh....

[ShyGuy]

Ich komme auf eine Entfernung von

Spoiler (Öffnen)

2km

und ja, ich hatte Spaß
@Moony: Ich spiele gerne mit dem Mathematik-Eingabebereich rum, wenn ich sowas aufschreiben will, finde ich relativ praktisch. Jedenfalls praktischer als alles was ich als Programmnoob kenne

Beispiel (Öffnen)

[Blue Sparkle]

Dein Beispiel ergibt irgendwie keinen Sinn ShyGuy^^
Das k im Exponenten ist zu viel.

[ShyGuy]

Wofür gibt mein Beispiel keinen Sinn? Ich wollte nur zeigen, wie eine so geschriebene Formel aussehen könnte, was in der Formel steht hat mich nicht gekümmert. Ich hab nur versucht 1:1 Moony's Formel in Schriftform umzusetzen. Dabei habe ich wohl den Exponenten vor dem = übersehen, aber darum gehts mir ja auch nicht. Ich will nichts berechnen, sondern nur diese Darstellung vorschlagen.

[Blue Sparkle]

OK, lass es mich anders formulieren: Deine Gleichung hat keine Lösung.

[Cycloethan]

s1: erste Strecke der im Süden beginnenden Fähre
s2: erste Strecke der im Norden beginnenden Fähre
s1': zweite Strecke der im Süden beginnenden Fähre
s2': zweite Strecke der im Norden beginnenden Fähre
d: Entfernung der Seeufer
(alle Angaben in km bzw. km²)
Bekannt ist bislang Folgendes:

Spoiler (Öffnen)

s1 != s2, s1' != s2' (unterschiedliche Geschwindigkeiten)
s1 < s1', s2 < s2' (zeitliche Abfolge)
s1, s1', s2, s2' > 0 (sie fahren nicht rückwärts)
s1 + s2 = d (Treffen während der für beide ersten Überquerung)
s1s2 = 0,8 (bei 800 m N)
s1' + s2' = 3d (Treffen während der für beide zweiten Überquerung)
s2' = d + 0,4 (bei 400 m S)
s1'/s1 = s2'/s2 (konstante Geschwindigkeiten)

Man kann folgern:

Spoiler (Öffnen)

s1' + 0,4 = 2d
s1' + 0,4 = 2s1 + 1,6
s1' = 2s1 + 1,2
0,8 s1' = (0,8 + s1 + 0,4) s1
1,6s1 + 0,96 = s1² + 1,2s1
s1² - 0,4s1 -0,96 = 0
s1 = 0,2 +/- sqrt(0,04 + 0,96) = 0,2 + 1 (s1 > 0)
d = 0,8 + 1,2 = 2

tl; dr: d = 2 km

[ShyGuy]

Deine Berechnung enthält einen Fehler (durch die Bezeichnungen "Südfähre" und "Nordfähre" nicht leicht zu erkennen):

(16.12.2012)Cycloethan schrieb:  s1: erste Strecke der Südfähre
s2: erste Strecke der Nordfähre
s1': zweite Strecke der Südfähre
s2': zweite Strecke der Nordfähre

Spoiler (Öffnen)

s2' = d + 0,4 --> 2d - 0,4 (bei 400 m S)

Du vergisst, dass die "Nordfähre" auf ihrer zweiten Fahrt eine "Südfähre" ist und somit nicht die 0,4 km von Süden sondern die (d-0,4 km) von Norden aus zurücklegt. Dass du mit s1 uns s1' die gleiche Fähre meinst, zeigt mir diese Zeile:

(16.12.2012)Cycloethan schrieb:  

Spoiler (Öffnen)

s1'/s1 = s2'/s2 (konstante Geschwindigkeiten)

@Blue Sparkle:
Wie gesagt, es ist nicht "meine" Formel und was darin steht tut nichts zur Sache, es ging nur darum Formeln hier leserlich reinzuschreiben.

[Moony]

@Psi's Love
Nope, Vektoren brauchen wir nicht. Aber der Ansatz ist nicht verkehrt.


Danke für die Teilnahme am Rätsel und herzlichen Glückwunsch an ShyGuy für die richtige Lösung. Dein Preis ist ein Ticket für eine sagenhafte, 2km lange Fährenfahrt.
Möchtest du noch deinen Lösungsweg posten, damit die anderen wissen, wie man zum Ergebnis kommt?

Die Idee mit dem Mathematik Eingabebreich ist gut. Ich habe inzwischen auch schon was gefunden und meinen Post an BlueSparkle entsprechend editiert.

Bevor wir die Rätselzügel ein wenig anziehen, hier noch eine kleine Aufwärmübgung:
Die Zahl 45 soll in vier Teile geteilt werden. Diese vier Zahlen ergeben jeweils dasselbe Ergebnis, wenn man zur ersten Zahl 2 addiert, von der zweiten Zahl 2 subtrahiert, die dritte Zahl mit 2 multipliziert und die vierte Zahl mit 2 dividiert.
Wie lauten die vier Zahlen?