e^(i*π)+1=0 [Der Mathe-Thread]

[Kara]

Hi, ich hoffe hier kann mir jemand helfen. Ich bin seit 5 Jahren aus der Schule und habe seit 4 Jahren kein Mathe jenseits Dreisatz mehr angefasst, und grade musste ich feststellen, dass ich den Satz des Pythagoras und Berechnung von Dreiecken usw. nicht mehr beherrsche  

Es geht um folgendes: Ich möchte ein doppelstöckiges Haus für meine Kaninchen bauen. Auf die obere Ebene soll eine Rampe führen. Das untere Stockwerk des Kaninchenhauses ist 30cm hoch, der Winkel zwischen oberer Ebene und Rampe soll etwa 120 Grad sein. Wie lang muss nun die Rampe sein, damit sie genau auf dem Boden aufkommt? Kann mir jemand erklären, wie ich das berechne? Oder einfach eine Formel geben, wo ich meine Werte einsetze?

[Nic0]

Wenn ich das richtig erstehe, sieht das so aus?

Spoiler (Öffnen)

Der Winkel Alpha sind deine 120°-90°, da der Winkel oben ein Wechselwinkel zum rechten Winkel unten ist (beide Ebenen sind parallel).

Alpha ist also 30° groß.

h ist 30cm


Um nun auf die Länge l der Hypotenuse zu kommen, musst du

Cosinus (alpha) = Ankathete / Hypotenuse

also

cos (α) = h/l

Das stellst du nach l um:

l = h/cos(α) = 30cm/cos(30°)

l = 34,64 cm

[Blue Sparkle]

Aus eigener Erfahrung mit Kaninchen würde ich sagen das ist zu steil. Statt 30Grad würde ich mindestens 45 nehmen. Eher mehr sofern der Platz reicht.

[Kara]

Hach herrje, dass ich erst Alpha ausrechnen muss da hätte ich auch selber drauf kommen können, danke!

Ist das wirklich zu steil? Ich hab grade mal ihre Rampe im Käfig ausgemessen und ausgerechnet, da beträgt Alpha wohl 40 Grad, und das laufen die ja mehrfach täglich. Eigentlich können sie ja auch die 30cm locker so hochspringen (ihr Häuschen im Käfig wo sie gerne drauf sitzen ist auch 30cm hoch, und der eine springt gerne mal über den 50cm Auslaufzaun), die Rampe soll sie nur unterstützen wenn sie mal wieder zu faul sind.
Vielleicht mache ich doch noch 40 Grad draus Jetzt weiß ich ja, wie ich es berechne

[Blue Sparkle]

Natürlich können die Tiere so hoch springen, aber dann brauchst du ja keine Rampe mehr
Die ist ja grade dafür dass sie nicht springen müssen, also hochhoppeln können. Daher ist flacher in dem Fall besser. Andernfalls könntest du auch einfach eine Stufe auf halbem Weg einbauen.

Es kommt natürlich auch auf das Material der Rampe an. Wenn es zu glatt ist, muss die Rampe dafür flacher werden, sonst rutschen sie eher runter^^
Hab auch schon die Variante mit kleinen Holzlatten gesehen, die dann Halt geboten haben.

[Kara]

Ganz ohne Rampe würde ich mir einfach Sorgen machen, dass sie die obere Ebene nicht so schnell/intensiv annehmen.

Ich dachte da an so ein Ding was sie auch im Käfig haben, so ähnlich wie das:

Ich glaube ich habe sogar noch so eine im Keller liegen, aber ich weiß nicht wie lang die ist, da müsste ich mal gucken  

Aber langsam wird das hier sehr off-topic. Eventuell kann man das ganze ja auf PNs auslagern, wenn du noch weitere Ideen/Anmerkungen hast?

[Blue Sparkle]

Das Bild funktioniert leider nicht.

Ansonsten kann ich hier aber auch nicht weiter helfen. Das mit den Kaninchen ist schon ne Weile her.

[Herdentier]

So wirklich beliebt scheint der Mathe-Thread ja nicht zu sein, zumindest wird nicht all zu oft was geschrieben . Dafür habe ich mal wieder ein etwas komplexeres Problem jenseits der Schulmathematik. Wer Cookie Clicker kennt: Es geht um Berechnungen zu den Wrinklern.

Was ein Wrinkler ist, spielt eigentlich keine Rolle. Nur soviel: Wrinkler sind Kreaturen, die in einer bestimmten Phase des Spiels auftauchen. Sie haben sowohl eine negative, als auch eine positive Seite, wobei letztere erst zum Tragen kommt, wenn man einen Wrinkler eliminiert. Das führt zu der kniffligen Frage, wann der richtige Zeitpunkt dazu ist. Die Überlegungen dazu haben mich zu diesem mathematischen Problem geführt.

Die Situation ist folgende:
Es gibt 10 Slots für Wrinkler. Ist ein Slot besetzt, bleibt er das auch dauerhaft (frei wird er erst wieder durch eine Spielerinteraktion, die hier aber keine Rolle spielt bzw. nicht berücksichtigt wird). Pro tick (= 1/30 Sekunde) und freiem Slot wird mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,00003 ein Wrinkler auftauchen. Wie lange dauert es nun durchschnittlich, um von n₁ auf n₂ Wrinkler zu kommen?

Da die Wahrscheinlichkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t von der Zahl der freien Slots zu diesem Zeitpunkt abhängt, sind die Ereignisse nicht unabhängig. Deswegen lässt sich die Wahrscheinlichkeit nicht einfach über die Binomialverteilung bestimmen. Durch einige Recherche habe ich zumindest schon mal herausgefunden, dass es sich um eine absorbierende Markow-Kette handelt. Der absorbierende Zustand ist natürlich der Zustand "0", also keine freien Slots, da dieser mit der Wahrscheinlichkeit 1 in sich selbst übergeht. Es ist mir sogar gelungen, eine Übergangsmatrix zu erstellen, allerdings konnte ich nicht herausfinden, wie man jetzt damit rechnet. Dabei will ich nicht ausschließen, dass es letztlich auch einfacher gehen könnte.

Ich denke, ich bekomme zumindest eine recht gute Näherung, indem ich einfach die durchschnittlichen Zeiten aufsummiere, um von n auf n+1 zu kommen. Im Cookie Clicker Wiki steht eine Formel, die mir aber komplett unsinnig erscheint. Was soll das den sein, was man rausbekommt, wenn man vereinfacht gesagt 1 / (k*p) rechnet? Ich kann mich ja irren, aber allein weil man das = 1 setzen kann und damit einen endlichen Zeitpunkt bekommt, bei dem die Wahrscheinlichkeit für einen Wrinkler genau 1 ist, kann das doch nicht passen.

Korrekt müsste es sein, über das Gegenereignis zu gehen, also die Frage "Wann fällt die Wahrscheinlichkeit, dass kein Wrinkler erzeugt wurde, unter 50%". Das wäre dann (1-p)^t=0,5. Aufgelöst nach t und mit Basisumrechnung: t = log(0,5)/(k*log(1-p)).

Ganz korrekt ist das letztlich trotzdem nicht, da die (geringe) Wahrscheinlichkeit, dass beim betrachten über mehr als eine Stufe in einer vorangegangenen Stufe mehr als ein Wrinkler gespawnt wurden, unterschlagen wird. Dazu müsste man eine Funktion für die statistische Zahl der Wrinkler in Abhängigkeit von t finden, was gelinde gesagt schwierig sein dürfte.

Uh, ziemlich kompliziert, das ganze, nicht?


tl;dr
Die Frage liegt im fett gedruckten Absatz

[Nic0]

Ich habe ein Verständnisproblem mit folgender Funktion:



Diese soll eine Glättung des Vektors H(k) beschreiben. H(k) ist komplex, darum die Bildung des Betrags. W(m(k),i) ist das Fenster für den Bereich des Vektors.

H(k) ist einfach nur eine Reihe von Messwerten, die in festgelegten Abschnitten gemittelt werden sollen.

Dies geschieht durch H[(k-i) mod N].


Meine Frage ist jetzt wie man durch die Bildung eines Restes eine Reihe von Werten mitteln kann.
Es funktioniert, mir ist nur nicht klar, wieso.

[Maniez]

In welchem Verhältinis stehen k und N? bzw was ist N überhaupt (k ist soweit ich es verstanden habe der Messwert von dem man den geglätteten Wert haben will; ist N nun das maximale k bzw. die Anzahl der Messwerte?)
Wie sieht Wsm(m(k),i) aus? Ist das eine Gewichtsfunktion?

Sry, dass ich nicht hilfreich bin

[404compliant]

N ist vermutlich die Gesamtzahl der Messwerte? k der Index der gefilterten Daten?

(k-i) mod N wäre dann (je nach Definition des Modulo*) wieder ein gültiger Index im Bereich 0..N-1, d.H. die Einträge in H werden umlaufend verschoben, bzw. rotiert, wenn man sich H als im Kreis angeordnet vorstellt.

Viel hängt dann von dem Gewichtungsfaktor W(m(k),i) ab. Wäre der immer konstant, kommt für alle k immer das gleiche heraus, weil immer alle Werte von H summiert werden. Ist W dagegen 1 für i=0 und 0 sonst, kommt H[k] heraus, und das ganze ist die Identität.

Mit einer eleganten Funktion, z.B. ähnlich der Gaußkurve über i, mit dem Maximum bei 0 (und periodisch bei N), entsteht so etwas wie ein Gauß'scher Weichzeichner. Mit anderen Funktionen könnte man auch Effekte wie Kontrastverschärfung realisieren. Macht man das schließlich 2-dimensional, ist man endgültig bei allgemeinen Filter-Matrizen für die Bildverarbeitung angekommen.

Man kann das so interpretieren: Es gibt eine Messwertreihe H, und ein kleines Gewichtungsfenster W, und beide werden relativ zueinander verschoben, um den Blick auf die Stelle k zu richten. In diesem Fall zyklisch, vermutlich gibt es auch einen praktischen Grund, der erklärt, warum H[0] und H[N-1] ähnlich sind.


Für weiterführendes, siehe Convolution, bzw. Faltung. In der Funktionalanalysis wird dieses Prinzip so fundamental wichtig (allerdings hier mit Integralen statt Summen), dass es eine eigene Symbolik kriegt, (f * g)(x), das Faltungsprodukt der Funktionen f und g. Übertrage auf diesen Fall wohl eher (H * W)[k].


(*) Algebraisch ist das Ergebnis in 0...N-1, in der Informatik ist es dagegen in der Regel der Divisionsrest bei Rundung in Richtung 0, d.H. bei negativen Dividend im Bereich -N+1..0. So ist z.B. in der Informatik -14 mod 10 = -4, während es in der Algebra +6 ist.
Informatiker schreiben daher oft statt (k-i) mod N einfach (k-i+N) mod N, um zu vermeiden, dass der Dividend negativ wird.

[Nic0]

Ja, genauso ist es.

Mittlerweile bin ich aber auch selbst drauf gekommen. Das hat das ganze aber nochmal etwas deutlicher gemacht, vielen Dank!

Das hier ist übrigens Wsm:



Wobei b die Form des Fensters (b=1 -> Rechteck) bestimmt.

Das Ganze ist übrigens eine Methode für die Entwicklung einer Näherungsfunktion, die ich für eine Seminararbeit über "Headphone Equalization for Binaural Signals" brauche, also Audio- und nicht Bildverarbeitung. Darum bleibe ich glücklicherweise 1-dimensional.
Und ich hatte eigentlich gehofft, dass ich mit Glättung am schnellsten durch bin.

[404compliant]

Ich quäl mich jetzt nicht durch die Funktion, aber man sieht ja schon, sie ist nur in der Nähe von 0 bzw. N definiert, und sonst 0. Wird also wesentlich die Filtercharakteristik bestimmen. Könnte man sich mal in einer ruhigen Minute plotten lassen, das verrät einem dann bestimmt auch noch was.

[Brocken]

Die Wurzel aus 2

w = Wurzel

w1 = 1 ok (1,25) ist zu groß das doppelte von 1 ist 2
+0,21
-----
1,21
+0,23
------
1,44
+0,25
------
1,69
+0,27
------
w1,96 = 1,4 ok (0,1425) ist zu groß.
+0,0281
------
w1,9881 = 1,41 ok (0,014125) ist zu groß.
+0,002821
------
  990921
+   02823
------
   93744
+   02825
------
   96569
+   02827
------
w1,999396 = 1,414 ok (0,00141425) ist zu groß.
+0,00028281
------
    967881
+    028283
------
w1,99996164 = 1,4142 ok (0,0001414225) ist zu groß.
+0,0000282841
------
w1,9999899241 = 1,41421 (0,000014142125) ist zu groß.
+0,000002828421
------
     992752521
+      02828423
------
      95580944
+      02828425
------
w1,999998409369 = 1,414213 (0,00000141421325) passt.
+0,00000141421325
------
w1,99999982358225 = 1,4142135 (0,0000001414213525) passt.
+0,0000001414213525
------
       99650036025
+        0282842611
------
w1,9999999932878636 = 1,41421356 (0,000000014142135625) ist zu groß.
+0,000000002828426121

usw.      

Ihr könnt es fortsetzen.

[Nic0]

Das ist ja ganz toll, dass man sich mit den bekannten Wurzeln rationaler Zahlen den irrationalen annähern kann, aber wo ist der Sinn dieses Verfahrens? Das erscheint mir extrem rechenaufwendig und man muss viele rationale Zahlen und deren Wurzeln kennen.

Bei einer Heron-Iteration läuft das ganze schön einfach numerisch ab.

[Volteer]

Bin gerade am lernen für einen Midterm und ich finde es interessant über was für Formeln man da so stolpert.

Erscheint mir irgendwie recht Sinnfrei, es sei denn man hat Zwischendurch mal die Existenz des Nullelements in den Reellen Zahlen vergessen

[Brontalo]

Wie sind denn diese Qs definiert?

[Volteer]

(27.04.2016)Brontalo schrieb:  Wie sind denn diese Qs definiert?

Das sind Quadratsummen
Qe ist normalerweise die Residual Sum of Squares und Q0 ist normalerweise die Total Sum of Squares
Hier allerdings ist Q0^C als "Fehlerquadratsumme" bezeichnet, was irgendwie sehr verwirrend ist, da "Fehlerquadratsumme" eher nach Residual SS klingt.  

Also um genau zu sein



Wobei y und y^ Vektoren sind Xb0^ sich von y^ nur durch die Art und Weise unterscheidet wie das Beta ausgerechnet wird.

Also im Endeffekt sind es sowieso nur einfache Reelle Zahlen und die Formel aus meinem Letzten Post wird als "Zerlegung von Quadratsummen" bezeichnet, was in der Anwendung die davor kam auch Sinn gemacht hat, weil da eine Quadratsumme als Summe von 2 Anderen dargestellt wurde.
Hier erschließt sich der Sinn für mich nicht wirklich, weil da eigentlich nur steht Q0^c = Q0^c, aber vielleicht hat das einfach irgendeine Anwendungstechnische Bedeutung die ich noch nicht ganz verstanden habe.

[Brocken]

Fangfrage .

Grüdonnertag 28. März
Karfreitag 29. März
Samstag 30. März
Ostersonntag 31. März
Ostermontag 1. April
Dienstag 2. April

Karfreitag, Ostersonntag und Ostermontag sind Feiertage.
Und nun die Frage.
Wenn der Supermarkt am Samstag den 30. April um 21 Uhr schliesst.
Wieviele Stunden sind es bis Dienstag 2. April 7 Uhr ?

kein Aprilscherz.

[Jandalf]

Wenn ich dich wörtlich nehme sind es etwas weniger als 22 Stunden.